[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지 (2편)

칼럼으로 들어가기 전에 자랑부터!

드디어 박수칠 수학 미적분1, 2 부교재 작업을 끝냈습니다 ^^v

본교재에 수록된 문제와 함께

수능/모평/학평 기출 위주의 연습문제를 추가했구요,

연습문제는 미적분1 195문항, 미적분2 179문항으로 이루어져 있습니다.

물론 연습문제 해설도 포함되어 있구요.

부교재는 아래의 링크에서 다운받을 수 있습니다.

http://orbi.kr/0005897498

(대단원별로 작업하다 보니

미적분1, 미적분2 각각 5개의 파일로 나뉘어 있습니다.

조만간 파일 통합 작업을 해서 미적분1, 미적분2 각각 2개의 파일로

정리하도록 하겠습니다.)

이제 자랑 끝! 본론 시작입니다.

3주 전에 아래 칼럼을 올렸었는데

읽어주신 분들의 반응이 아~주 좋았습니다.

  [놓치기 쉬운 개념/유형 3가지]

  http://orbi.kr/0008055590 

그래서 같은 제목으로 한 번 더 쓰기로 했죠~

앞으로도 꺼리 생기면 종종 쓸거구요,

본문과 관련된 질문은 다른 수험생들도 참고할 수 있도록

쪽지 대신 댓글을 이용해주시길 부탁드립니다.

1. , 의 의미

  다음은 2014학년도 3월 학평 A형 문제입니다.

  등차수열의 합과 수열의 극한이 결합된, 평범한 문제로 보이는데

  의외로 틀린 학생들이 많아서 놀랬던 문제입니다.

  극한의 일반항에 포함된 에 낚여서 그런건지

  틀린 학생들은 전부 , 을 다음과 같이 해석했더라구요.

  2n에 집중한 나머지 짝수 번째 항들만 더한 것이죠.

  하지만 , 으로부터  , 을 만들어내려면

  ‘대입’을 이용해야 합니다. 주어진 식에 n 대신 2n을 대입해서

  으로 만들어야죠.

  추가로 은

  수열 이 공차 6인 등차수열임을 이용해서

  다음과 같이 계산할 수 있습니다.

  (참고로 위 문제의 답은 6입니다.)

2. 두 곡선 사이의 넓이 구하기

  두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이는

  다음과 같이 표현할 수 있습니다.

  이 식을 계산하려면 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표와 함께 

  구간 [a, b]에서 f(x), g(x)의 대소도 알아야 합니다.

  예를 들어 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 구간 (a, b)에서의 교점이 하나 뿐이고,

  그 교점의 x좌표는 c이며, 구간 (a, c)에서 f(x) ≥ g(x), 구간 (c, b)에서

  f(x) ≤ g(x)가 성립한다면 도형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.

  그런데 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이를 구할 때

  실제로 필요한 것은 두 곡선의 교점의 x좌표 뿐이고,

  f(x), g(x)의 대소를 비교하는 것은 사족입니다.

  왜냐하면 구간 (a, c)에서  f(x) > g(x)가 성립할 때,

  다음의 식들은 모두 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로

  둘러싸인 도형의 넓이를 나타내기 때문입니다.

  g(x)-f(x)를 a부터 c까지 적분하면 

  두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로 둘러싸인 도형의 넓이에

  -를 붙인 것과 같기 때문에 절댓값 기호를 씌우면 도형의 넓이가 되는 것이죠.

  즉, 구간 (a, c)에 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점이 없다면

  f(x)-g(x), g(x)-f(x) 가운데 어느 쪽을 a부터 c까지 적분하든

  절댓값 기호만 씌우면 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 된다는 뜻입니다.

  따라서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 구간 (a, b)에서의 교점이 하나 뿐이고,

  그 교점의 x좌표가 c라면 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로

  둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.

  그럼 예제를 봐야죠.

  다음은 2009학년도 수능 9월 모평 가형 문제입니다.

  딱 봐도 곡선 개형 그리기가 상당히 어려워 보입니다.

  일단 곡선과 직선 모두 원점에 대해 대칭이므로

  x≥0일 때 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해서 

  두 배하면 된다는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

  그럼 곡선과 직선의 교점 좌표부터 구해봐야죠.

  x ≥ 0일 때 곡선과 직선 교점의 x좌표가 0, 이므로

  곡선의 방정식과 직선의 방정식의 대소를 비교할 필요 없이,

  도형의 넓이는 다음의 식으로 구할 수 있습니다.

3. 모집단으로부터 추출된 표본의 표본비율에 대한 확률 문제

  먼저 (1)부터 살펴봅시다.

  생산된 제품 가운데 5개를 선택하는 시행은

  1개를 선택하는 시행을 5번 반복하는 것입니다.

  그리고 공장에서 생산된 제품의 개수가 굉장히 많다고 보면

  1개를 선택하는 각각의 시행은 모두 동일한 조건을 가진다고 볼 수 있습니다.

  (생산된 제품이 100개라고 가정하면 불량품은 25개입니다.

  그리고 시행에서 선택된 5개의 제품이 모두 불량품이라면

  남은 제품 95개 가운데 불량품은 20개,

  불량품의 비율은 약 21.05%입니다.

  반면 생산된 제품이 100만개라고 가정하면 불량픔은 25만개입니다.

  그리고 시행에서 선택된 5개의 제품이 모두 불량품이라 하더라도

  남은 제품 999,995개 가운데 불량픔은 249,995개,

  불량품의 비율은 약 25.00%입니다.

  따라서 제품 개수가 굉장히 많다면 제품 1개를 선택하는 시행 5번은

  불량품의 비율이 일정한, 동일 조건에서의 반복 시행이라 할 수 있습니다.)

  그렇다면 (1)은 같은 시행을 5번 반복하는 것으로 볼 수 있고,

  불량품이 2개일 확률은 다음과 같이 독립시행의 확률로 계산할 수 있습니다.

  다음으로 (2)를 살펴봅시다.

  (1)과 마찬가지로 생산된 제품 가운데 4800개를 선택하는 시행은

  1개를 선택하는 시행을 4800번 반복하는 것이고,

  각각의 시행은 동일한 조건을 가진다고 볼 수 있습니다.

  따라서 불량품이 1140개 이상 1260개 이하일 확률은

  다음과 같이 독립시행의 확률로 표현할 수 있습니다.

  이걸 손으로 계산하려면 주금이쥬~

  이럴 때는 독립시행의 결과에 대한 확률분포인 이항분포와 

  시행횟수가 충분히 큰 이항분포의 근사인 정규분포를 이용해서

  확률을 계산해야 합니다.

  1개를 선택하는 시행을 4800번 반복했을 때 불량품이 X개 뽑혔다면

  확률변수 X는 이항분포 B(4800, 1/4)을 따릅니다.

  그리고 시행횟수가 충분히 큰 것도 아니고 엄청나게 크기 때문에

  이 이항분포는 정규분포 N(1200, 900)으로 근사할 수 있습니다.

  이때, 구하려는 확률은 P(1140≤X≤1260)이고,

  정규분포 N(1200, 900)으로 표준화해서 계산할 수 있습니다.

  그런데 (2)는 풀이 방법이 한 가지 더 있습니다.

  바로 표본비율의 분포를 이용하는 방법이죠.

  공장에서 생산된 제품 전체에서 불량품이 차지하는 비율 1/4은

  모비율 에 해당됩니다. 

  그리고 선택된 4800개의 제품 가운데 불량품의 비율은

  표본비율 에 해당되죠.

  따라서 선택된 4800개의 제품 가운데

  불량품이 1140개 이상 1260개 이하일 확률은

  이 1140/4800 이상 1260/4800 이하일 확률과 같습니다.

  그리고 표본비율 의 평균과 분산이 각각

  , 

  이므로 표본비율은 정규분포 을 따르고,

  확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

  이처럼 모집단으로부터 추출된 표본의 표본비율에 대한 확률은

  표본의 크기가 작을 때는 독립시행의 확률로 접근하고,

  표본의 크기가 충분히 클 때는 이항분포에서 정규분포로의 근사

  또는 표본비율의 분포로 접근할 수 있습니다.

  (참고로 문제 (1)은 (2)처럼 이항분포에서 정규분포로의 근사

  또는 표본비율의 분포로 접근할 수 없습니다.

  왜냐하면 정규분포나 표본비율의 분포 모두 연속확률분포인데

  연속확률분포에서 확률변수가 특정한 값을 가질 확률은

  0이기 때문입니다.

  문제 (2)의 질문을 보면 확률변수가 특정한 값을 가질 확률이 아니라

  특정 범위에 속할 확률을 물어보는 것도 이런 이유입니다.)