[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이 시발새끼들이 합성함수 극한은 교과 외라면서 시험 안낸다놓곤 가우스 기호에 대해선...
-
작수가 어려워서 요새 실모가 미적만 뒤지게 어렵게 내는듯..
-
보기 싫은 분들은 나가주시고 성욕 푸는건 해야 하는 일이니까 그럴 수 있다고...
-
함수 g(x) 좌미분계수가 1인가요? 사진에서 처럼 풀면 좌미분계수가 존재하지 않는...
-
메이플 환불액 0
만캐시도 안되네 다행?인건가
-
아시는분 있으신가요
-
다들 수학만큼은 사설 및 실모 안하고 기출만해도 1등급 가능하다는 사람들이...
-
679모 다 2등급맞은 사람인데 셋다 공통에서 2개나갔고 확통에서 2개에서 3개정도...
-
4000부 판매돌파 지구과학 핵심모음자료를 소개합니다. (현재 오르비전자책 1위)...
-
간쓸개 문학 현대시인데 가장 철저한 믿음도 한때는 흔들린다 라는 구절이 있어서...
-
시민혁명이랑 민주주의 발전사요 ㅠ
-
*수시 반수 잘 아시는 분께서 답변 남겨주심 감사하겠습니다* 반수생각있는 수시생인데...
-
2등급 가능? 듣기어법 다 맞추고 기본적인 구문 독해는 함
-
오랜만에 본 친구가 요즘 강남 클럽 자주 다니던데 얼마 전에 스토리 올라온 거...
-
머리아파 3
감기걸린듯 열은 떨어진것 같긴 한데...
-
만족하고 정착할수 있을만한 대학을 언제쯤 갈수있을까
-
나도 어느정도 벅벅 올라와서 4점짜리 꽤나 잘풀고 인강강사들이 알려준 키워드들도...
-
공부하다가 자꾸 들어오는데 탈퇴 못하나요
-
07들 부럽다 4
사람이 어떻게 저렇게 어릴수 있지..
-
문학언매 뺑이나 치자
-
아수라 들으면서 국어 실모 총 30개정도 풀거같은데 강k에 더해서 풀만한 실모...
-
킬러보단 딱 이 난이도나 살짝 더 어려우면 좋겠음. (11~21 정도) 이것도...
-
크기 체감을 위해 어제 알약과 샤프친구들과 사이좋게 한 컷 이제 잡고 지우기가...
-
그냥 궁금해서요 저만 손가락걸기 하면서 어떻게든 검토할 시간 만들고있던 거였나요?
-
경제지문에서마저 모든 경제주체는 합리적 판단을 하려고한다(=이득이 최대가 되려는...
-
아 잘잤다 0
개운?해
-
쌀먹만한줄알앗더니 큐브 좀 쓰긴햇나봄...
-
그치만 설대 정시 생기부반영 때문에 해야한다는 사실
-
5만원 어릴때의 나는 도대체 뭘 했던걸까
-
같은 출제 교수인가보네
-
단락의 개요 잡기
-
대성에서 빡모, 배성민t 모고, 션티t 키센스 이렇게 한 번에 시켰는데 빡모랑...
-
진짜 개좆같은데 그동안 푼 리트 전체 지문보다 더 어려움 비합리적 어려움
-
역사는 반복된다 9
수능국어는강기원 · 1157560 · 09/05 11:31 (수정됨) 20196월:...
-
승리쌤 아수라 0
승리쌤 커리는 kbs만 듣고 나머지 기출은 마닳로 독학했는데 아수라들어도 괜찮을까요??
-
감기 미치겠네 0
아으
-
잇올 벌써 이틀이나 못 갔네
-
힘내야지 6
낼 수 있으려나
-
공학수학가서 2
클리어모의고사 풀면 나다
-
진짜 어려운듯,,,
-
혹시 답만이라도 있으신분 계실까요 현장 간 날에 시험지는 받았는데 컨디션 안 좋아서...
-
눈치안보이고 시간잘가는 그런 딴짓 추천좀 참고로 전자기기 가능
-
이거 상상론으로 볼수있는 여지는 아예 없는건가요? 아닌거같긴한데 명쾌하게 왜 아닌지...
-
Siuuuuu 2
능 냄새
-
투두메 구함뇨 0
하는 사람 잇으면 쪽지 ㄱㄱ
-
저번에 "모든사람은 주류문화를 향유한다"가 맞는 선지인지를 물어보는 글을 올렸었는데...
-
언미생1지1 평가원 성적 2411 32346 2506 33323 2509 91 84...
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^