[박수칠] 순열/조합 단원과 확률 단원에서 ‘경우의 수’ 세기
오르비언 여러분~ 새해 복 많이 받으세요!
다들 설 연휴는 무사히(?) 보내셨는지 모르겠습니다.
친척들과 다양한 얘기를 나누셨을텐데…
좋은 것이든, 나쁜 것이든
지금의 나에게 도움이 될 만한 것은 머리 속에 새기고,
그렇지 않은 것은 빨리 잊으세요 ^^
오늘 할 얘기는 ‘경우의 수’에 대한 것입니다.
‘순열/조합 단원’에서는 같은 경우로 봤던 것을
‘확률 단원’에서는 다른 경우로 구분해야 할 때가 있죠?
왜 그렇게 해야 하는지 여기서 설명드리겠습니다.
먼저 순열/조합 단원에서 경우의 수를 셀 때는 ‘눈’이 기준입니다.
눈으로 봐서 구별이 안되는 대상들은 뽑거나 나열할 때
순서가 바뀌더라도 같은 경우라는 얘기죠.
반면에 확률 단원에서 경우의 수를 셀 때는 ‘대상’이 기준입니다.
눈으로 봐서 구별이 안되더라도 뽑거나 나열할 때의
순서가 바뀌면 다른 경우로 봐야 합니다.
이해를 돕기 위해 예를 들어 봅시다.
아래 그림과 같이 상자 안에 흰 공, 빨간 공, 파란 공이 1개씩 들어있습니다.
(각각의 공은 크기, 모양 등이 일정하고 색상만 다릅니다.)
여기서 공 1개를 꺼내는 시행을 합니다.
그럼 순열/조합 단원에서든, 확률 단원에서든 일어날 수 있는 경우의 수는
흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우
세 가지로 똑같습니다.
다음으로 상자에 흰 공 1개를 추가해서
흰 공 2개, 빨간 공 1개, 파란 공 1개가 되도록 합니다.
여기서 공 1개를 꺼내는 시행을 하면 경우의 수는 어떻게 될까요?
순열/조합 단원에서라면 흰 공 2개를 구별 할 수 없기 때문에 경우의 수는
흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우
세 가지로 변함 없습니다.
하지만 확률 단원에서는 다릅니다. 흰 공 2개를 서로 다른 것으로 봐야 하기 때문에
흰 공이 나오는 경우 두 가지, 빨간 공이 나오는 경우 한 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지
총 네 가지가 됩니다.
이제 공을 더 늘려서
흰 공 3개, 빨간 공 2개, 파란 공 1개가 되도록 합니다.
여기서 공 1개를 꺼낼 때의 경우의 수도
순열/조합 단원에서라면
흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우
세 가지로 변함 없지만,
확률 단원에서라면 같은 색의 공들을 서로 다른 것으로 봐야 하기 때문에
흰 공이 나오는 경우 세 가지, 빨간 공이 나오는 경우 두 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지
총 여섯 가지가 됩니다.
그렇다면… 이런 의문이 생깁니다.
왜 확률 단원에서는 대상을 기준으로 경우의 수를 세야 하지?
이것은 ‘수학적 확률’의 전제 조건 때문입니다.
각각의 경우가 일어날 ‘가능성’이 같아야 한다는 것이죠.
상자 속에 흰 공, 빨간 공, 파란 공이 1개씩 들어있을 때 공 1개를 꺼내면
흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우
가 일어날 가능성은 같습니다.
하지만 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 파란 공 1개가 들어있을 때 공 1개를 꺼내면
흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우
가 일어날 가능성은 다릅니다.
흰 공이 다른 공보다 많기 때문에 흰 공이 나올 가능성이 커지는 것이죠.
이때는 흰 공 2개를 서로 다른 것으로 보고
흰 공이 나오는 경우 두 가지, 빨간 공이 나오는 경우 한 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지
총 네 가지 경우가 일어나는 것으로 봐야 각 경우가 일어날 가능성이 같아집니다.
그래서 흰 공이 나올 확률은 2 / 4 = 1 / 2이 됩니다.
그럼 기출 문제 하나 풀어봐야죠.
다음은 2007학년도 수능 9월 모평 나형 문제입니다.
순열/조합 단원에서처럼 경우의 수를 따진다면
같은 색 구슬끼리 서로 구별할 수 없기 때문에 모든 경우의 수는
흰 구슬만 3개 나오는 경우, 흰 구슬 2개와 검은 구슬 1개가 나오는 경우,
흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 나오는 경우, 검은 구슬만 3개 나오는 경우
총 네 가지가 되고, 흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 나올 확률은 1 / 4이 됩니다.
하지만 각 경우가 일어날 가능성이 다르기 때문에 위 확률은 틀렸죠.
(흰 구슬이 4개, 검은 구슬이 5개이므로 흰 구슬이 3개 나올 가능성보다
검은 구슬이 3개 나올 가능성이 더 높음을 알 수 있습니다.)
확률 단원에서처럼 경우의 수를 따진다면
색상에 관계 없이 각각의 구슬을 서로 다른 것으로 보기 때문에
모든 경우의 수는 9개의 구슬 가운데 3개의 구슬을 선택하는 방법의 수 ₉C₃과 같고,
흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개를 선택하는 경우의 수가 ₄C₁x₅C₂이므로
확률은 ₄C₁x₅C₂ / ₉C₃ = 10 / 21이 됩니다.
이쪽이 옳은 확률이죠.
다른 예로 넘어가서…
대상을 나열하는 시행에 대해서도 알아봅시다.
다들 알고 있다시피
세 개의 문자 A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법의 수는
순열에 의해 3! = 6가지입니다.
여기에 A를 추가해서
네 개의 문자 A, A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법의 수를 생각해볼까요?
순열/조합 단원에서라면 2개의 A를 구별할 수 없기 때문에
같은 대상이 있는 순열에 따라 4! / 2! = 12 가지가 됩니다.
하지만 확률 단원에서는 2개의 A를 서로 다른 것으로 보고
순열에 따라 4! = 24가지로 세야 하죠.
왜냐? 여기서도
‘각각의 경우가 일어날 가능성이 같아야 한다’
는 전제가 적용되기 때문입니다.
A, A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법 가운데 하나인 BCAA에서
B와 C의 자리를 바꾸면 CBAA가 되고 BCAA와 다른 경우가 됩니다.
그렇다면 A와 A의 자리를 바꿀 때도 다른 경우로 취급해야
B, C의 자리를 바꿀 때와 대등한 관계가 되고, 가능성이 같아지는 겁니다.
(2개의 A를 A와 A’으로 구분하면 쉽게 이해됩니다.)
마지막 예로
크기가 다른 2개의 주사위를 던지는 시행을 생각해봅시다.
시행의 결과를 순서쌍 (큰 주사위의 눈, 작은 주사위의 눈)으로 나타내면
(1, 1)부터 (6, 6)까지 총 36가지 경우의 수가 있음을 알 수 있습니다.
물론 각각의 경우가 일어날 가능성도 똑같습니다.
순열/조합 단원이든, 확률 단원이든 마찬가지죠.
그럼 똑같이 생긴 2개의 주사위를 던지는 시행은 어떨까요?
순열/조합 단원에서라면 두 주사위를 구별 할 수 없기 때문에
1과 2의 눈이 나올 때, 2와 1의 눈이 나올 때를 같은 경우로 봅니다.
따라서 모든 경우는
1과 1, 1과 2, 1과 3, 1과 4, 1과 5, 1과 6,
2와 2, 2와 3, 2와 4, 2와 5, 2와 6,
3과 3, 3과 4, 3과 5, 3과 6,
4와 4, 4와 5, 4와 6,
5와 5, 5와 6,
6과 6
총 21가지가 되고, 1~6의 눈 가운데 중복을 허락해서 2개의 눈을
선택하는 경우의 수 ₆H₂=₇C₂와 같습니다.
물론 각각의 경우가 일어날 가능성은 같지가 않지요.
하지만 확률 단원에서라면 두 주사위를 서로 다른 것으로 보기 때문에
1과 2의 눈이 나올 때, 2와 1의 눈이 나올 때를 다른 경우로 봅니다.
따라서 모든 경우는
1과 1, 1과 2, 1과 3, 1과 4, 1과 5, 1과 6,
2와 1, 2와 2, 2와 3, 2와 4, 2와 5, 2와 6,
3과 1, 3과 2, 3과 3, 3과 4, 3과 5, 3과 6,
4와 1, 4와 2, 4와 3, 4와 4, 4와 5, 4와 6,
5와 1, 5와 2, 5와 3, 5와 4, 5와 5, 5와 6,
6과 1, 6과 2, 6과 3, 6과 4, 6과 5, 6과 6
총 36가지가 되고, 1~6의 눈 가운데 중복을 허락해서 2개의 눈을
선택하고 나열하는 경우의 수 ₆Π₂와 같습니다.
여기서는 각각의 경우가 일어날 가능성이 똑같죠.
위 예처럼 순열/조합 단원에서는
똑같이 생긴 2개의 주사위를 던지는 시행에서 경우의 수를 세는 것이
까다롭기 때문에 ‘서로 다른’ 2개의 주사위를 던지는 시행만 다루는 것이 보통입니다.
간단한 글이 될 줄 알았는데 의외로 길어졌네요.
기본 개념 다지는 시기라 확률과 통계 부분 공부하시는 분들도 많을텐데
이 글이 개념 이해에 도움이 되었으면 합니다.
감사합니다 ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
몇달전에 목이 불편해서 병원갔다가 목쪽에 작은결절이 있다고 사진한번 찍어보고 오늘...
-
모두 영어... 진짜 토할거같다
-
수사기관에서 역량만 된다면 이론상 010-0000-0000 ~...
-
보통 수술이라 생각함요??
-
기모 입어야되나 0
ㄹㅇ 추운데......... 잇올안에 갇혀있는데 에어컨+환절기 알러지비염으로 죽어가고있음
-
-지나가는 9평 블록체인 3틀 - 아 근데 그때는 집중 좀 풀려서 그런 것도 있긴...
-
상황상 혼자하고 있는데 실모 구하기가 힘드네요.. 이감응시반이라도 가야할까요?...
-
텔그가 독재국가에서 민주화운동에도 쓰인다 하던데 뭔가 양날의 검 같음..
-
매일 제자리걸음하는느낌인데
-
대학 가면 자취도 생각중이라 궁금하네요
-
도와주세요 0
영어 지금 5.6등급인데 수능때 4등급만 맞으면 되는데 단어는 워마...
-
난이도 빗스한가요?
-
솔텍vs프로섬 0
심화개념 한번 돌리고 싶어서 둘 중 하나 해보려는데 모가 좋을가요 시간상 둘다는...
-
학생들 가르치다보면 개념 이름을 알고있다고 그걸 알고있다고 착각하는경우 많음...
-
발롱떴네 0
사실전 벨링햄이 맞다 생각해요
-
수학황이되고싶다수학황이돼서고려대도쓰고서울대도써놓고합격을기다리는그런수학황이되고싶다수학황...
-
수능 다 끗나고 몇달 지나서 대학등록할때쯤되면 지금 이 시점의 힘듦과 성적에 대한...
-
ㅅㅅ
-
할게 못됩니다
-
뭐 기출분석하고 n제푸는것도 아주훌룡한 공부임 근데 대부분 기출분석하고 n제푸는거...
-
특히 학부 유학의 경우 우리가 서양인 나이 구별 못하는 것처럼 자연스럽게 또래랑...
-
한 2~3주정도... 맛있게 먹었던 반찬 한 열댓종류 ㅎㅎ 앞으로 내가 요리해서 먹어야지
-
꾸벅꾸벅 6
zzZZ
-
살면서 운전대 잡아본거라고는 어릴때 타던 전동차 밖에 없는데
-
9월입학 십새끼들이 너무 부러워요 돈도 없고 영어도 못함 시발
-
된다고해줘요제발
-
'사교육 1번지' 강남 제쳤다…1년 만에 학원 370개 늘어난 이곳 2
정부가 10년 넘게 사교육과 전쟁을 벌이고 있지만, 효과를 거두지 못했다는...
-
뭐지
-
제일 어려운걸루.. 이감이랑 상상 풀었어요 바탕이나 그릿 생각중인데 뭐가 나을까여
-
서바 12회 28번 같은 문제는 어디에 많이 있나요 3
이런거풀고싶은데
-
비킬러뿐이지만 37분 이렇게도 걸리는데
-
올해 수능 잘 보면 25년 학교 다니면서 교환학생 준비 26년 여름 미국 가서...
-
아가 휴식 2
-
점메추 저건 제 의견이 아닙니다.
-
Tanx 적분해서 Ln |cosx| 되는데 코사인에 절댓값 붙이는게 필수인가융
-
거기서 모든 비극이 시작된다.
-
심지어 다맞았음 사실 좋아하는 분야라 그럼
-
선조: 님 술 너무 많이 마심. 은잔 하나 줄테니까 매일 이걸로 딱 한 잔만 마시셈...
-
국뽕 ㄷ
-
1-13이랑 14랑 간극이 너무 크고 (15는 풀만하고) 16-21까진 쉽다가 22...
-
속 시원하게 긁어주시네 ㅋㅋ
-
ㅁㅌㅊ?근데 29번 계산틀림ㅋㅋㅋ 시험5분남기고 계산 다시해봤는데 다른값나와서 답고쳤는데 틀렸음
-
논리학 이야기 0
명제 "P이면 Q이다" 에서 전건 P가 그 자체로 거짓이라면 전체 명제는 항상 참이...
-
메이저 서점 만화코너 가보면 항상 여자 비율이 더 많고 홍대 애니메이트 같은 데도...
-
왜 또 덥노 0
미치겠네 시불
-
현강용 5회인데 개어렵네요
-
유빈 터지려나
-
묘 파헤쳐야된다 ㄹㅇ
-
꼴붕이 중증환자로구나
이런글 감사합니다~! 스크랩하겠습니다
절대 안지우니 두고두고 읽어주시면 감사하겠습니다 ^^
감사합니다
저도 감사합니다~
주사위는 경위의 수든 확률이든 무조건 다르게 취급해야하죠?
예를 들면 주사위 두개를 던질때 두눈의 합이 9인 경우의수 같은거요
본문 마지막에도 써있지만 두 주사위가 똑같이 생겼을 때
확률 단원에서는 서로 다른 것으로 취급하지만,
순열/조합 단원에서는 그렇지 않습니다.
즉, 확률 단원에서는 (1, 2)와 (2, 1)이 다른 경우지만
순열/조합 단원에서는 1의 눈과 2의 눈이 하나씩 나온 것이기 때문에
구별이 안되서 같은 경우로 보는 거죠.
그래서 교과서나 문제집을 보면
순열/조합 단원에서는 똑같은 두 주사위를 던지는 시행에 대한
경우의 수를 묻는 문제는 없습니다.
알피엠확통10p 문젠데요
서로다른두개의주사위를 동시에 던질 때,나오는 눈의수의합이 4의배수가 되는 경우의수는? 답이 9로 나와있습니다 답지에는 1,3 3,1을 따로 세던데... ㅠ
'서로 다른' 두 개의 주사위잖아요 ^^
그럼 1, 3이 나올 때와 3, 1이 나올 때는
눈으로 구분할 수 있으니 다른 경우죠.
제 얘긴 '서로 같은' 두 개의 주사위일 때가
구별이 안된다는 뜻이었습니다.
읔 그렇군요 ... ㅋㅋ제가 잘못 봤네요 답변 감사합니다 ㅎㅎ
혹시 작년 6월 연필 문제 얘기인가요?
개념을 깊이 있게 반영한 문제였나 봅니다 ^^
9평 이과15번이요
ㅁ몇몇 인강선생님께서도 잘못해설했었죠
아~ 이 문제 얘기였군요 ^^
확률 문제라 두 개의 1을 서로 다른 대상으로 취급하는 것이 핵심이죠.
알려주셔서 감사합니다.
근원사건이 일어날 확률을 맞춰야하니까 그렇죠!
좋은글 잘 읽었습니다!!!
빙고! 확률 단원에서는
(경우의 수)=(근원사건의 개수)
가 되니까요~
감사합니다 ^^
감사합니다~
저도 감사드립니다 ^^
와 한석원t랑 완전똑같이설명하시네요ㄷㄷ 글잘읽었습니다
와~ 그런가요?
요번에도 대세 인강이랑 방향이 맞군요 ^^v
로피탈부터 항상 좋은글 감사합니다~~
저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
좋은글 감사합니다. . .!!
이 글에도 와주셨군요 ^^
감사합니다~
정말 명쾌하네요~ 좋은글 감사합니다~
고치고, 고치고 또 고치고 하다 보니
글 쓰는데 5시간 걸렸는데 보람이 있네요.
감사합니다 ^^
대단하셔요 ㅎㅎ 이해가 정말 잘되네요! 개념서를 사볼까 하는 욕망이 자꾸 생기네요 ㅋㅋㅋ
감사합니다~
확통 얼른 써야겠네요 ㅎㅎ
어쩜 간지러운 부분을 알아서 딱하니 긁어주시니 감사합니다.
저도 예전에 간지러웠던 부분이었거든요 ^^
감사합니다!
그럼 시중문제집에 있는 같은것이있는순열을 이용하는 확률 유형은 잘못된건가요??????
방금 수업하다가 설대언론님 질문이 무슨 뜻인지 알았어요!
이따 수업 끝나고 예제랑 같이 설명드릴께요~
같은 것이 있는 순열에 대한 확률 문제는
같은 것들을 다른 것으로 구분하든, 구분하지 않든 답이 같습니다.
예를 들어 1, 1, 2, 3이 하나씩 적힌 네 장의 카드를 임의로 나열할 때
1 두 개가 이웃할 확률을 구한다고 합시다.
각 경우가 일어날 가능성이 같기 위해서는
1 두 개를 서로 다른 것으로 구분해야 합니다.
따라서 표본공간의 원소 개수는 4!, 해당 사건의 원소 개수는 3! x 2!,
확률은 (3! x 2!) / 4!이 됩니다.
그리고 1 두 개를 서로 같은 것으로 보면
표본공간의 원소 개수는 4! / 2!, 해당 사건의 원소 개수는 3!,
확률은 3! / (4! / 2!)이 됩니다.
즉, 1 두 개를 서로 다른 것으로 구분했을 때의 확률에서
분모, 분자를 각각 2!로 나누면 1 두 개를 서로 같은 것으로 볼 때의
확률이 됩니다.
결론적으로 수학적 확률의 전제 조건에 부합하려면
같은 것들을 다른 것으로 구분해주는 것이 맞지만,
구분하지 않더라도 답은 나온단 얘깁니다.
그렇군요 감사합니다
감사합니다~
읽어주셔서 감사드립니다~ ^^