[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의
사실 이 문제는 '무리수 e의 정의'라는 이름을 붙이는 순간 풀이 과정이 뻔하기 때문에... 숨기는 것이 맞다만 그래도 문제에 이름은 붙여야하니 ㅜ 달았습니다. 어떤 변수 a에 대해 a가 0에 한없이 가까워질 때 (1+a)^(1/a) 꼴이 수렴하는 값을 e로 정의한다는 점을 공부했죠? 이를 단순화해서 바라보면 어떤 극한식에서 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하면 e와 관련되었을 것이라는 생각을 해볼 수 있습니다.
여담이지만 [e^x-e^(-x)]/2는 쌍곡선함수 중 한 종류로 sinh(x)로 표기하기도 합니다. 추가로 cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2이며 [sinh(x)]'=cosh(x)와 [cosh(x)]'=sinh(x)가 성립하는 등 삼각함수와 유사한 성질을 나타낸다는 점에서 표기에 sin, cos이 들어간다고 알고 있습니다.
추가로 한국 고등학교 교육과정에서 다루는 6가지 삼각함수의 풀네임은 sine, cosine, tangent, cosecant, secant, cotangent입니다!
+문제 아이디어는 작년에 논술 준비하며 봤던 어떤 문제로부터 얻었습니다! 다시 말해 온전히 제가 떠올린 것은 아니에요
[해설]
lim x->0인 상황에 대해 식 변형만 해볼게요! 핵심은 무리수 e의 정의를 활용하는 것과 초월함수의 극한을 활용하는 것입니다. 우선 '어떻게 무리수 e의 정의를 떠올리냐?'라는 질문에는 '지수함수 꼴 함수식에서 밑이 1로 수렴하고 지수가 무한대로 발산하는 것은 무리수 e를 정의할 때 사용하는 극한식과 같은 꼴이기 때문'이라는 답을 드릴 수 있습니다. 따라서 무리수 e의 정의식 (1+x)^(1/x)를 활용하기 위해 밑을 1+f(x) 꼴로 바라보고 지수에 1/f(x)꼴을 잡는 쪽으로 식을 변형해볼게요!
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)+2]/2]^[1/sin(2x)]
=[1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]*[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)]]
이제 e로 수렴하는 꼴이 나왔으니 지수식을 정리해주면 되는데 삼각함수와 지수함수가 있으므로 sin(x)/x와 (e^x-1)/x 꼴을 띄울 생각을 해볼 수 있습니다, 우리는 초월함수의 극한을 학습한 상태니까요! (함수의 극한에서 lim를 분배할 때 핵심이 내가 아는 극한으로 극한식을 구성하듯 나타내는 것이죠? 수렴하는 걸 알아야 lim를 극한의 성질에 따라 분배할 수 있으니까요!) 따라서 지수의 식을 변형해봅시다.
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)
=[x^2+9sin(2x)/x+[(e^x-1)/x-[e^(-x)-1]/x]/2]/[sin(2x)/x]
=[x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)]
이제 무리수 e의 정의와 초월함수의 극한을 활용하면 [1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2] 부분은 e로 수렴하고 [x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)] 부분은 19/2로 수렴함을 알 수 있습니다.
따라서 극한값은 e^(19/2), 답은 e^(19/2)
타이핑 했더니 문자들이랑 괄호가 좀 복잡해보이긴 하는데 '무리수 e의 정의'와 '초월함수의 극한'이라는 아이디어만 잡으면 다들 어렵지 않게 값을 구해내실 수 있을 겁니다. 초월함수의 극한 연습하기 좋은 문제라고 생각해요, 물론 식 자체가 복잡해서 수능에는 나오기 힘든 모양이라 생각하고 나와도 논술에 나올 만하지 않나 싶네요 ㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
아 1
도와줘 아
-
나 빵 샀어.. 9
배고파서.
-
빵 vs 농 3
ㄱㄱ
-
정상인이없네 3
어후
-
ㅈㄱㄴ
-
ㅁㅇ 오랜만에 엔팁으로 다시 복귀했네뇨
-
그래서 페페도 점잖아졌어
-
아놔 ㅋㅋ 2
나 관독에서 자다가 사감이깨우는데 안일어났다고 여러번 경고받다가 퇴출당험ㅋㅋㅋㅋㅋ...
-
부족한 과목이 있으면 그거 단과 듣다가 가야함... 전 미적 약해서 강기원 머리...
-
06년생들 뭐냐 1
나 06인데 배런트럼프 보니까 하아.... 그리고 06중에 농구선수 유망주라는 애들...
-
합격발표 3일 남았네 16
3일동안 기절당하고 싶다
-
더 이상 그 결과를 바꿀 기회가 남아있지않을때 어짜피 바꿀수없는 겱과에 불만족해봐야...
-
행렬 공부하기 0
https://cafe.naver.com/pnmath/3799798 ㄱㄱ
-
갓갓갓 빼면 시체인 몸~
-
노래추천 0
닉값 ㅋㅋ
-
강대n반에서 재수하고 수능ㄹㅇ처망함 올해 그냥 자습시간 확보하고 독재할 생각이었는데...
-
안녕하세요 영어 독해 하려하는데 단어가 넘 딸려요 그래서 독해도 잘 못하겠구 영단어...
-
전설의 식중독 제육볶음
-
능력이 없으면 만족할줄 아는 마인드라도 가져야하는데 둘다 없음 ㅁㅌㅊ?
-
그건 바로 우리 삼촌댁 강아지였고요
-
생1 실모 1
70회분 15만원이면 괜찮은거 맞죠..?
-
ㄹㅇ 만들어도 12~13번 정도밖에 못 만들겠음
-
커뮤에서 보기 힘든 잔잔함
-
담배피러나옴 0
얼어뒤지겟노
-
일찍일어나야함
-
진짜 뭐노
-
T여서 좋은점은 12
슬픈 일이 일어나지 않는한 우울하지가 않음 새벽감성 이런거
-
성공하더라도 잃는 게 생각보다 많음을 인지하고 시작해야함
-
시대 강대 0
시대 합격문자는 왔지만 수학 3이라 낮반 확정인데다가 사탐런 할거면 강대가 낫겠죠?...
-
서울대 cc 0
일반고 3점대에 선택과목이 과탐이였으면 설대 문과쓰면 보통 cc임?
-
사실 안힘든사람이 어디잇겟냐만은 너무 힘들엇서…
-
얼버잠 10
얼리버드가 잠을 잔다는뜻 쿨쿨쿨
-
사랑했던 시간 널 좋아했던그 많은 아픈 날을 걸었네
-
중대 반수ㄷ재수ㄷ전과 14
안녕하세요, 중앙대 문과에 합격한 학생입니다. 고3때 언미생지를 했었는데, 수학이랑...
-
?
-
내가 뭘 본거지
-
지금은 뉴분감(수1/수2/미적) 1회독 중이고 1회독 끝나면 시냅스 포함해서 2회독...
-
성적 떡상시키는 모습을 보고싶음
고급수학러들은 쌍곡함수 미적분까지 다 했죠고급수학러지만 행렬, 극좌표밖에 안 배웠습니다,,
그것은 고수1 고수2해서 해요 쌍곡함수는
고급수학 2도 있나요? 그건 몰랐네요 ㅋㅋㅋ
재미있네요! ^^ 혹시 답은 e^10 인가요? ~~
저는 e^(19/2)가 나왔던 것 같은데,, 다시 확인해보겠습니다!
끄악 죄송해요! 2분의 를 계산하는 걸 깜빡했어요! ㅠㅠ
앗 그럼 옳은 풀이 같네요 ㅋㅋㅋㅋ
다른분들도 풀어보실 수 있게 최대한 숨겨서 여쭤볼게용...
(e) ^ (0 + 9 + 1/2 - (-1/2))로 푸는 것 맞는지요?
네, 그 방식 맞습니다! e의 정의를 활용하기 위해 지수에 어떤 작업을 해주어야 하는지, 미적분에서 다루는 '초월함수의 극한'을 다루기 위해 지수에 만들어질 분수식의 분모 분자에 어떤 작업을 해주어야 하는지를 알아내어 적용하는 것이 출제 의도였습니다
좋은 문제 주셔서 감사합니다 선생님! ^_^
풀어주셔서 감사합니다!
그냥 로피탈 하니까 e^19/2나오긴하는데..대학가서 미분적분학 배웠더니 e정의를 까먹었어요...
e = lim x->0 (1+x)^(1/x)
= lim f(x)->0 [1+f(x)]^[1/f(x)]
아하 식변형 좀 하면 나오긴 하겠네요
교과서적 풀이가 중요한 문제라고 생각해서 오늘이나 내일 중 해설 남겨두겠습니다!