확률변수는 음수도 가능한가요?
오늘 문득 문제풀다가 확률변수라는 개념이 뭔지 헷갈리는데요;;
확률변수란 확률로 정해지는 어떤 변량 X 라고 알고있었거든요..?
그런데 문제를 풀다보니 확률변수 X 를 정할때 X는 음도 가능하다는것이 궁금해졌습니다.
즉, 예를들어 어떤 거리를 확률변수 X라 하고 이 X가 정규분포를 따른다고 할때,
100m 이상인 확률과 100m 이하인 확률을 구하면요
P(100>=0) 과 P(100<=) 인 확률을 구하는거잖아요
그런데 거리를 확률변수 X 라고 두었으니까 100m 이하인 확률은 P(0<=X<=100) 라고 생각하면 안되나요...?
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어느 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리는 평균이 1740m 표준편차가 500m 인 정규분포를 따른다고 한다. 집에서
시장까지의 거리가 2000m 이상인 고객중에서 15%, 2000m 미만인 고객 중에서 5% 는 자가용을 이용하여 시장에 온다고 한다.
자가용을 이용하여 시장에 온 고객중에서임의로 1명을 선택할때 이고객의 집에서 시장까지의 거리가 2000m 일 확률은?
이문제 풀다가 의문점이 든거예요;;;
재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리를 X 라두면
2000m 미만인 고객의 확률은 P(0
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거리는 음의 값을 가질 수 없으니 그렇게 생각하는 게 맞죠
그럼 어떤 횟수를 구할때도 항상 X는 0보다 크거나 같다는 조건을 달아야 하나요?
그러면 표준정규분포로 바꿔서 계산했을시 기존 기출문제들 답들이 모조리 달라질텐데요;;
네 가능해여 개념공부 꼼꼼히하시면 그런생각 안드실거에요 정석다시한번 펴보셈
왜가능한지 알려주시면 안될까요? ㅠㅠ
제가 확률변수라는 개념을 잘못알고있는건가요...?
확률변수란 확률과 변량과의 관계에서 정해진 확률에 대한 변량 X 를 확률변수라고 하는것 아닌가요..?
간단하게 어떤 온도계가 나타내는 온도를 연속확률변수라보면 온도가 -1~-10도를 표시할 확률 을 구하라할때
확률변수가 음수잖아요
온도라는 변량은 음의 값이 존재하기 때문에 가능한것 아닌가요?
님 질문이 확률변수는 음수도 가능한가요? 이거아닌가여?
위에 수정했어요 저부분 땜에 질문드린거예요 ㅠㅠ
집에서 시장까지의 거리면 절대값을 물어보는거니까 0보다크다는건 거의 자명한거아닌가요? 문제에 딱 주어져잇는데.. 집에서 시장까지 '거리'가 마이너스값을 가질순 없잖아요
자명하다는 표현이 수학에서 표현하기는 적합하지 않은것 같은데요....;;
그러니까 건축덕후 님 또한 거리는 양수라고 생각하시는거잖아요;;
그러면 변량 X 에 대해서 양수라는 조건을 달아주어야 하지않냐는 것이죠;;
즉, 표본공간에서 확률변수 X 의 조건이 양수라는 것을 달아주어야 거리에 대한 확률변수 X 가 확률로서 정해진 값이 아닌가 하는 겁니다.
제목 내용 불일치;; 글의 제목에 대한 답은 가능하다입니다변수를 표로 주는 문제에서 보셨을거에요
왜 가능한지 여쭤봐도 될가요 ㅠㅠ
굳이 안 될 이유가 없지않나요...
거리라는 변량이나 횟수라는 변량은 항상 양수 아닌가요..?
그런 녀석들은항상 양수맞죠 ; 정확히 어떤점이 의문이신지..
본문글에 추가로 썼어요;;
확률변수의 정의가 확률에 대응되는 변수예요. 표본 공간에 있는 어떠한 근원 사건들을 변수에 대응을 시키고 그게 확률에 대응되는게 확률질량함수..
음수든 양수든 상관없고 확률변수 음수인 문제도 많은데
이게 아마도 이런걸 말씀하시는거 같네요. 예를 들어 이항분포 B(100, 1/2) 라고 하면 이걸 정규분포로 근사시킨다면 N(50, 25) 가 되는데, 애초에 이항분포에서는 횟수가 0 이상만이 나오는데, 이걸 정규분포라고 구라를 치는 순간 횟수가 0 미만인 경우, 즉 음수인 경우가 생겨납니다. 아마 질문자분께서 이런게 왜 그런지...를 물어보신거 같은데요
애초에 정규분포를 따른다고 할때부터 구라의 시작이자 근사값을 구하겠다는 것이기에, 문제와 같은 경우 0이상이라는 조건을 달면 안될 것 같습니다. 더 자세한건 이쪽거 전공하시는 분이 오셔야 할거같은 느낌이...
근데 위의 예시경우는 라플라스의 정리를 배제하고 처음부터 정규분포를 따르는 확률변수에 대한것인데, 그런데도 같은 근사에 대한 오류인건가요?
오르비에 수학과 분들도 꽤 있으니 찾아서 질문 ㄱㄱ하심이?
저는 이항분포를 비슷한 예시로 들은겁니다. 애초에 거리라는게 정규분포를 따를 리가 없지요. 말씀하신대로 정의역이 제한이 되어있는걸요. 정규분포는 정의역에 제한이 없잖습니까. 그리고 거리도 사실 재면 특정한 값으로 나오는 이산적인 분포일 뿐이라고 생각을 합니다만...
더이상은 저도 답변은 드릴수 없을거 같으니... 전공자분이 오셔야할거 같아요.
거리가 정규분포를 안따른다니요...... 그리고 거리가 이산적인분포가 나온다니.............
어쨌든 좋은댓글 감사드려요~
거리가 이산적인 분포라는건 이런 생각에서 말한겁니다. 고객 1은 집에서 시장까지 거리가 100m, 고객2는 2750m 고객 3은 174.6331m 고객 4는 ...... 이런식으로 분포가 '원래는' 이루어져 있었을 것이고, 그걸 정규분포를 따른다고 한거겠죠. 거리분포는 이런식으로 원래는 이산확률분포였는데, 그걸 n수를 늘려서 정규분포를 따른다고 적당히 구라를 쳤을 것이란 겁니다.
개인적인 생각이니 크게 신경은 쓰지 마시고 저도 좀 궁금하긴 하네요.
아.. 이런식으로 파고들면 꽤나 골때리는 부분이죠... 사실 고등학교 정규분포 겉핥기식으로 배우는거라.. 윗분댓글이 정답이네요
저도 이거 궁금햇었는데
sos440님 추천요 전형적인 착한 수학도이심.(서울대수리과학)
좋은댓글 감사드려요~
수학도로써 제가 생각하는 답을 적어보자면... 수능은4개월 님이 아주 잘 설명해주셨습니다.
(1) 어차피 거리가 정규분포를 따른 다는 건 엄밀히는(수학적으로는) 뻥입니다. 거리가 실제로 정규분포를 따른다면, 아무리 발악을 해도 음수가 될 확률이 0보다 크게 되버리기 때문이지요.
따라서 어디까지나 이런 문제에서는, 거리 X가 따르는 실제 분포를 그냥 계산하기 쉽게 정규분포로 근사한 것으로 생각해야 합니다.
(애초에 여러분의 수능 성적도 정규분포로 간주하고 표준화시킨답니다! 크크크크)
(2) 게다가 이 문제의 경우, 표준화시켜보면 X < 0 인 범위는 평균에서 약 4시그마정도 바깥으로 벗어나있습니다. 이에 대응되는 확률은 꽤나 작기 때문에 (구체적으로, P(X < 0) = 0.000250707... 정도입니다) 개무시해도 됩니다.
(3) 결론적으로, 이 문제에서는 P(X ≤ 2000) 를 계산하나 P(0 ≤ X ≤ 2000) 나 실질적으로 차이가 없는 것이나 마찬가지입니다. 즉, 어떤 것을 써도 무방합니다.
(4) 반대로, P(X < 0) 인 부분을 무시할 수 없는 문제라면 애초에 거리가 음수가 되는 경우가 확률적으로 유의하게 발생할 수 있다는 뜻이고, 이것은 애초에 거리가 정규분포를 따른다는 주장이 진실로 새빨간 개구라가 되는 것이기 때문에 문제 자체가 성립할 수 없습니다.
따라서 요모조모 생각해보아도, 거리가 음수인 부분은 계산에 넣든 말든 전혀 관계가 없습니다. 근데 저같으면, 부등호 두 개보단 하나가 더 편하니 그냥 P(X ≤ 2000) 을 계산하겠습니다...
원래는 양수를 따져줘야 하지만 무시할수있는 값이기 때문에 그런거였군요
어떠한 답보다도 명쾌하고 정확한 답변이였습니다. 감사합니다^^
쓰다보니 윗분과 내용이 겹쳤네요ㅋㅋ
제가 고등학교 범위내에서 깔끔하게 답변해드릴게요,
우선 위에서 말씀하신데로 거리는 연속확률변수지만 저기서는 이산확률변수 입니다. 왜냐하면 저기서는 거리라는 확률변수를 사람이 사는 곳으로 특정짓기 때문입니다. 사람이 무한명이 아닌이상 살고있는 거리도 무한종류가 아니겟죠?? 즉, 사람이 살고있는 만큼 거리라는 특정 변수가 생겨나게 되므로 저건 이산확률변수입니다.
그리고 이산확률변수를 정규분포로 근사시킬때는 양끝값을 각각 -무한대와 +무한대로 보냅니다. 여기서는 0이 왼쪽끝값이니까 -무한대로 보내겟죠?? 애초에 통계라는게 정확한 수치를 요구하는 게 아니고 근사값을 측정하는 것을 목표로 하기 때문에 양끝값을 보냄으로써 발생하는 값은 무시하기로 합니다.
만약 양끝을 +-무한대로 보내지 않는다면,
님말씀대로 왼쪽끝값을 -무한대로 보내지 않고 정의역의 왼쪽끝을 0으로놓고 0
만약 왜 0이하의 확률의 오차는 무시하면서 확률의 합이 1보다 약간작은건 무시하면 안되냐? 확률의합이 1인게 더 중요하냐? 라고 의문이 생기신다면, 그건 이렇기 때문입니다. 일단 저희는 이산확률변수를 정규분포로 '근사' 시켰습니다. 근사시켯다는 거에서 이미 어느정도의 오차는 감수하겠단 거죠, 하지만 근사된 정규분포는 하나의 확률밀도함수이므로 그 정의상 정의역 끝에서 끝까지 적분하면 1이 나와야 합니다.